GEOMETRI ANALITIK

Persamaan bidang datar

Persamaan linear Ax + By + Cz = D, grafiknyaa berupa bidang datar, jika A, B dan C adalah bilangan-bilangan real yang tidak sama dengan nol.

Persamaan bidang yang letak/posisinya istimewa.

Ax = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang yz, asal A tidak sama dengan nol
By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xz, asal B tidak sama dengan nol
Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xy, asal C tidak sama dengan nol
x = 0 , y = 0 , z = 0 berturut-turut adalah persamaan bidang yz, bidang xz dan bidang xy
Ax + By + Cz = 0 adalah persamaan bidang yang melalui titik asal o
Ax + By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu z
Ax + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu y
By + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu x

Persamaan bidang yang melalui titik P(x₁, y₁, z₁) dan tegak lurus pada vektor n = < A, B, C> adalah

jika diketahui dua bidang, yaitu A₁x + B₁y + C₁z = D₁ dan A₂x + B₂y + C₂z = D₂ , maka

jika _{θ adalah sudut antara dua bidang ini, maka}

_{dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila}

_{dua bidang tersebut sejajar, apabila}

_{dua bidang tersebut berimpitan, apabila}

_{Jika d adalah jarak titik P}(x₁, y₁ , z₁) ke bidang Ax + By + Cz = D, maka

Persamaan bidang yang melalui tiga titik (x₁, y₁ , z₁) , (x₂, y₂ , z₂) dan (x₃, y₃ , z₃) adalah

Vektor dalam ruang dimensi

Dalam bab sebelumnya kita telah membahas tentang vektor dalam bidang dua dimensi. Pada bidang suatu titik A dapat dinyatakan dengan dua koordinat, yaitu absis dan ordinat, misalnya A(x₁, y₁)

Vektor posisi untuk titik A adalah a=<x₁ , y₁> = x₁i + y₁j

Tetapi dalam ruang dimensi tiga, suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat dan aplikat. Misalnya D(x₁ , y₁ , z₁). Vektor posisi (terhadap titik O) dari D ini adalah d = <x₁ , y₁ , z₁> = x₁i + y₁j + z₁k.

Perkalian vektor

misalkan u = <u₁ , u₂ , u₃> dan v = <v₁ , v₂ , v₃>

maka perkalian vektor u . v dinyatakan dengan

Berdasarkan definisi perkalian vektor diatas didapatkan

θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v

Sistem koordinat kartesius tiga dimensi

Pada bab sebelumnya kita telah membahas tentang sistem koordinat kartesius dua dimensi, yaitu sistem koordinat yang terbentuk oleh dua garis yang saling tegak lurus.

Dalam ruang dimensi tiga kita membutuhkan tiga garis yang saling tegak lurus sebagai patokan awal. garis tersebut adalah sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, … , VIII

Oktan I, II, III, dan IV terletak diatas bidang xy dan lainnya terletak dibawah bidang xy.

Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berturut-turut tepat dibawah oktan I, II, III, IV

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang xy, xz, yz. Koordinat titik pada dimensi tiga digambarkan oleh P(x,y,z). x disebut koordinat x atau absis, y disebut koordinat y atau ordinat dan z disebut koordinat z atau aplikat. Berikut adalah tabel koordinat titik serta letak oktannya

Jarak dua titik

Diketahui titik P(x₁, y₁, z₁) maka jarak titik P ke titik asal O adalah

Dan jika diketahui titik P(x₁, y₁, z₁) dan Q(x₂, y₂, z₂) maka jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh

Vektor dalam Bidang

Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

Vektor digambarkan anak panah(ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor.

Vektor dapat dinyatakan dengan simbol a atau AB atau lainnya.

Suatu vektor yang titik pangkal tertentu dan vektor vektor lainya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vektor demikian disebut vektor posisi (vektor letak)

Pada gambar dibawah ini vektor-vektor posisi titik-titik A, B, C, dan P masing masing terhadap titik O berturut-turut adalah a, b, c, p.

Penjumlahan vektor

Cara segitiga (aturan segitiga)

Untuk memperoleh jumlah (resultante) dua vektor u dan v, yaitu u + v, gambarlah vektor v yang pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung v

Cara/aturan jajaran genjang

Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vektor v sehingga pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. Selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajaran genjang. Maka vektor u + v adalah vekttor yang bertitik pangkal berimpit dengan pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang

Pengurangan Vektor

Definisi

u – v = u + (-v)

Cara/aturan segitiga

1. Cara/aturan jajaran genjang

Teorema:

Untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut ini.

a. u + v = v + u

b. (u + v) + w = u + (v + w)

c. u + o = o + u = u

d. u + (-u) = o

e. a(bu) = (ab)u = u(ab)

f. a(u + v) = au + av

g. (a + b)u = au + bu

h. 0 u = u 0 = o

i. 1 u = u

Apabila u = <u₁ , u₂> maka

Perkalian vektor

Sekarang kita akan membicarakan perkalian dua vektor u dan v. Perkalian ini dinamakan hasil kali titik atau hasil kali skalar yang dilambangkan dengan u . v (dibaca u dot v) perkalian ini didefinisikan sebagai berikut

Jika u ≠ o dan v ≠ o maka u . v = |u|v|cos θ .

θ adalah sudt terkecil dan positif yang dibentuk oleh u dan v , sehingga 0 ≤ θ ≤ π

Teorema :

Jika u, v dan w vektor-vektor sebarang dan c suatu skalar, maka

1. u . v = v . u

2. u . (v + w) = u . v + u . w

3. c ( u . v ) = (cu) . v = u . (cv)

4. o . u = 0

5. u . u = |u|²

6. u . v = 0 jika dan hanya jika u Ʇ v atau u = 0 atau v = 0

Persamaan Parametrik

Bentuk umum persamaan parametrik dari suatu kurva pada bidang adalah

Jenis kurva bidang ada 4 macam, yaitu

kurva tidak tertutup tidak sederhana
kurva tidak tertutup sederhana
kurva tertutup tidak sederhana
kurva tertutup sederhana

suatu kurva dikatakan tertutup apabila titik ujung dan titik pangkalnya berimpit. Suatu kurva dikatakan sederhana apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai t atau lebih memberikan titik-titik yang sama).

Persamaaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan kedalam persamaan kartesius dengan cara menghilangkan parameternya dengan menggunakan substitusi atau menentukan hibungan dari parameternya

Contoh

Ubahlah persamaan parametrik berikut ini menjadi persamaan kartesius. Gambarlah grafik dari persamaan parametrik dengan batas-batas parameter yang diketahui. Sebutkan jenis kurva itu, apakah sederhana, tidak sederhana, tertutup atau tidak tertutup

Penyelesaian

Jenis kurva diatas adalah kurva tidak tertutup dan sederhana

Persamaan Kutub dan Grafiknya

Sistem koordinat kutub memberikan alternatif pilihan di samping sistem koordinat kartesius. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu sistem dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam sistem lain. Banyak kurva yang rumit, namun persamaannya sederhana apabila dinyatakan dengan koordinat kutub. Demikian pula dalam perhitungan-perhitungan, kadang-kadang dengan menyatakan persamaannya dengan koordinat kutub, perhitungan akan menjadi lebih sederhana.

Berikut ini bentuk baku persamaan kutub dari beberapa kurva

θ = θ₀ persamaan garis lurus melalui kutub dan membentuk sudut θ₀ dengan sumbu kutub