Representasi
titik pada gambar 10
menjadi dasar pembuatan sistem koordinat Cartesius seperti dijelaskan pada
subbab 1.1. Garis X¢X
dan Y¢Y masing-masing
disebut sumbu x dan sumbu y dengan titik acuan (pangkal) di O. Panjang OA = a
menyatakan absis (absisca) titik P.
Panjang AP = OB = b menyatakan ordinat (ordinate)
titik P. Koordinat titik P dinyatakan oleh pasangan berurutan (a, b). Titik pangkal
O biasanya dinyatakan oleh koordinat (0, 0).
Gambar 10. Sistem Koordinat Persegi Panjang
Jika sudut XOY
merupakan sudut siku-siku (right angle)
maka sistem koordinat tersebut dinamakan sistem koordinat persegi panjang (rectangular coordinates) atau koordinat
siku-siku atau koordinat Cartesius. Sistem koordinat persegi panjang terbagi
menjadi empat daerah yang disebut kuadran yaitu kuadran I dibatasi oleh sudut
XOY, kuadran II dibatasi oleh sudut YOX¢, kuadran III dibatasi oleh sudut X¢OY¢,
dan kuadran IV dibatasi oleh sudut Y¢OX.
Sinar OX dan OY masing-masing terdiri atas bilangan-bilangan riil positif.
Sinar OX¢ dan OY¢ terdiri atas bilangan-bilangan riil negatif.
Gambar 11. Kuadran pada sistem koordinat persegi panjang
Sehingga
himpunan titik-titik pada masing-masing kuadran dapat dinyatakan seperti dalam
tabel berikut.
Tabel 1. Hubungan nilai absis dan ordinat suatu titik
terhadap posisinya pada suatu kuadran Sistem Koordinat Cartesius
Koordinat (x,
y)
|
Kuadran I
|
Kuadran II
|
Kuadran III
|
Kuadran IV
|
Absis
|
x
> 0
|
x
< 0
|
x
< 0
|
x
> 0
|
Ordinat
|
y
> 0
|
y
> 0
|
y
< 0
|
y
< 0
|
Jika
diketahui koordinat titik-titik maka jarak antara dua titik dapat ditentukan
sebagai berikut. Misalkan koordinat titik A(x1, y1) dan
B(x2, y2) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC
dengan titik C(x2, y1) seperti pada gambar di samping.
Maka jarak titik A dan B yaitu
Contoh 1
Ditentukan koordinat titik A(1, 2),
B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1) maka keempat titik tersebut dapat digambarkan
pada Sistem Koordinat Cartesius sebagai berikut.
Pertanyaan 2 - 1 : Jika
titik-titik tersebut dihubungkan dengan ruas garis maka diperoleh sebuah
segiempat CDAB, hitunglah luas dan keliling segiempat tersebut.
Penyelesaian :
Diketahui : Segiempat
CDAB dengan koordinat A(1, 2), B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1)
Ditanyakan : Luas
CDAB = …………satuan luas
Keliling CDAB =
…………satuan panjang
Identifikasi
masalah : Untuk memudahkan penyelesaian, perlu didentifikasi bentuk CDAB yaitu dengan cara menghubungkan semua titik
sudut sehingga diperoleh bentuk di samping. Identifikasi bentuk menunjukkan
bahwa CDAB merupakan sebuah trapesium siku-siku. Masalah
luas dan keliling dapat diselesaikan apabila panjang sisi CDAB diketahui. Sisi
CDAB yaitu ruas garis CD, DA, AB, dan BC. Panjang tiap ruas garis dapat
ditentukan dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik. Keliling CDAB
adalah jumlah panjang semua sisi CDAB sehingga dirumuskan : .
Luas ditentukan dengan menggunakan rumus luas trapesium yaitu setengah dari
tinggi trapesium dikali jumlah panjang sisi-sisi sejajar sehingga dirumuskan :
Langkah
Penyelesaian :
Langkah
1) Menentukan panjang tiap sisi CDAB
Langkah
2) Menentukan keliling CDAB
satuan
panjang
Langkah
3) Menentukan luas CDAB
satuan luas
Jadi luas
segiempat CDAB yaitu 16 satuan luas dan keliling CDAB sekitar 17,47 satuan
panjang
Teorema 1.10 :
Koordinat titik tengah P(x, y) pada
sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah A(x1, y1)
dan B(x2, y2) adalah x = ½ (x1+ x2)
dan y = ½ (y1 + y2)
Pembuktian
teorema terdapat pada buku Geometri Analitik Bidang dan Ruang PGMT3839/3SKS
Modul1-9 (Sukirman, 1994 : 5)
Teorema 1.11 :
Apabila
diketahui titik-titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2)
serta titik T(x, y) pada ruas garis
sedemikian sehingga maka koordinat titik T ditentukan oleh :
![](file:///C:/Users/Agung/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image030.png)
dan
Pembuktian teorema
terdapat pada buku Geometri Analitik Bidang dan Ruang PGMT3839/3SKS Modul1-9
(Sukirman, 1994 : 6 - 7)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar