Sistem Koordinat Kartesius

Representasi titik pada gambar 10 menjadi dasar pembuatan sistem koordinat Cartesius seperti dijelaskan pada subbab 1.1. Garis X¢X dan Y¢Y masing-masing disebut sumbu x dan sumbu y dengan titik acuan (pangkal) di O. Panjang OA = a menyatakan absis (absisca) titik P. Panjang AP = OB = b menyatakan ordinat (ordinate) titik P. Koordinat titik P dinyatakan oleh pasangan berurutan (a, b). Titik pangkal O biasanya dinyatakan oleh koordinat (0, 0).

Gambar 10. Sistem Koordinat Persegi Panjang

Jika sudut XOY merupakan sudut siku-siku (right angle) maka sistem koordinat tersebut dinamakan sistem koordinat persegi panjang (rectangular coordinates) atau koordinat siku-siku atau koordinat Cartesius. Sistem koordinat persegi panjang terbagi menjadi empat daerah yang disebut kuadran yaitu kuadran I dibatasi oleh sudut XOY, kuadran II dibatasi oleh sudut YOX¢, kuadran III dibatasi oleh sudut X¢OY¢, dan kuadran IV dibatasi oleh sudut Y¢OX. Sinar OX dan OY masing-masing terdiri atas bilangan-bilangan riil positif. Sinar OX¢ dan OY¢ terdiri atas bilangan-bilangan riil negatif.

Gambar 11. Kuadran pada sistem koordinat persegi panjang

Sehingga himpunan titik-titik pada masing-masing kuadran dapat dinyatakan seperti dalam tabel berikut.

Tabel 1. Hubungan nilai absis dan ordinat suatu titik terhadap posisinya pada suatu kuadran Sistem Koordinat Cartesius

Koordinat (x, y)	Kuadran I	Kuadran II	Kuadran III	Kuadran IV
Absis	x > 0	x < 0	x < 0	x > 0
Ordinat	y > 0	y > 0	y < 0	y < 0

Jika diketahui koordinat titik-titik maka jarak antara dua titik dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan koordinat titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC dengan titik C(x₂, y₁) seperti pada gambar di samping. Maka jarak titik A dan B yaitu

Contoh 1

Ditentukan koordinat titik A(1, 2), B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1) maka keempat titik tersebut dapat digambarkan pada Sistem Koordinat Cartesius sebagai berikut.

Gambar 12. Contoh penyajian titik-titik pada sistem koordinat Cartesius

Pertanyaan 2 - 1 :     Jika titik-titik tersebut dihubungkan dengan ruas garis maka diperoleh sebuah segiempat CDAB, hitunglah luas dan keliling segiempat tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui      :    Segiempat CDAB dengan koordinat A(1, 2), B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1) 

Ditanyakan   :    Luas CDAB = …………satuan luas

                          Keliling CDAB = …………satuan panjang

Identifikasi masalah   :    Untuk memudahkan penyelesaian, perlu didentifikasi bentuk CDAB yaitu dengan cara menghubungkan semua titik sudut sehingga diperoleh bentuk di samping. Identifikasi bentuk menunjukkan bahwa CDAB merupakan sebuah trapesium siku-siku. Masalah luas dan keliling dapat diselesaikan apabila panjang sisi CDAB diketahui. Sisi CDAB yaitu ruas garis CD, DA, AB, dan BC. Panjang tiap ruas garis dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik. Keliling CDAB adalah jumlah panjang semua sisi CDAB sehingga dirumuskan : . Luas ditentukan dengan menggunakan rumus luas trapesium yaitu setengah dari tinggi trapesium dikali jumlah panjang sisi-sisi sejajar sehingga dirumuskan : 

Langkah Penyelesaian     :

Langkah 1) Menentukan panjang tiap sisi CDAB

Langkah 2) Menentukan keliling CDAB

 satuan panjang

Langkah 3) Menentukan luas CDAB

 satuan luas

Jadi luas segiempat CDAB yaitu 16 satuan luas dan keliling CDAB sekitar 17,47 satuan panjang

Teorema 1.10 :

Koordinat titik tengah P(x, y) pada sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) adalah x = ½ (x₁+ x₂) dan y = ½ (y₁ + y₂)

Pembuktian teorema terdapat pada buku Geometri Analitik Bidang dan Ruang PGMT3839/3SKS Modul1-9 (Sukirman, 1994 : 5)

Teorema 1.11 :

Apabila diketahui titik-titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) serta titik T(x, y) pada ruas garis  sedemikian sehingga  maka koordinat titik T ditentukan oleh :

    dan    

Pembuktian teorema terdapat pada buku Geometri Analitik Bidang dan Ruang PGMT3839/3SKS Modul1-9 (Sukirman, 1994 : 6 - 7)